Реально, если выехать рано. Я бы начал с дальней точки.
Первый поезд из Тель-Авива на север уходит рано, берите что-то около семи. До Нагарии ехать примерно час сорок, Акко будет за одну остановку до неё. В Нагарии с автостанции, она рядом с вокзалом, автобус в сторону Рош-ха-Никры, ехать минут двадцать, ходит не часто, раз в час примерно, так что сразу посмотрите время обратного рейса.
На самих гротах: канатка вниз пару минут, внизу тропа по гротам минут на сорок, плюс постоять и посмотреть, как волна заходит в пещеры. Билет взрослый около 50 шекелей. В октябре море бывает неспокойное, это как раз красиво.
К полудню вы обратно в Нагарии, садитесь на поезд и через десять минут в Акко. Старый город от вокзала минут двадцать пешком или такси по счётчику за 20-25 шекелей. Дальше стены над морем, порт, Рыцарские залы, если хотите внутрь, они платные. Хумус в старом городе едят с обеда до закрытия лавок, к пяти многие уже сворачиваются.
Обратный поезд из Акко ходит до позднего вечера, в будни проблем нет. В четверг вечером вагоны набиты, будьте готовы постоять первую часть пути.