Яна, в 600 за ночь в ноябре уложитесь легко, если не прямо у стен. Я бы смотрела три района.
Нахлаот рядом с рынком Махане Иегуда: маленькие дворики, до Яффских ворот 25 минут пешком, квартиры от 450-500. Минус: в четверг вечером у рынка шумно до полуночи.
Центр вокруг пешеходной Бен-Иегуды и улицы Яффо: до Старого города 15 минут, трамвай под боком, цены 500-650, но просите окна во двор.
Немецкая колония: тихо, зелено, кафе, часть из них работает и в субботу, до Яффских ворот минут 25, цены 550-700. Для шаббата это лучший вариант.
В самом Старом городе я бы не жила: чемодан по ступенькам, машины не подъезжают, вечером пусто. И обязательно спросите про отопление. Дома каменные, в ноябре ночью бывает +8, нужен кондиционер на тепло или обогреватель. Цену уточняйте сразу с уборкой, её иногда добавляют отдельной строкой в 150-200 шекелей.