Я летала семь раз, проблем не было ни разу, но пару раз отводили в сторону на дополнительные вопросы. Это нормально, не пугайтесь, просто ждёте минут 20-40.
Что всегда беру с собой: распечатку брони квартиры с адресом и телефоном хозяйки (могут попросить позвонить), обратный билет, страховку на английском, примерный план по городам. Если спросят, куда поедете, назовите пару городов и мест, это успокаивает.
Штамп в паспорт сейчас не ставят. Дадут маленькую карточку с фотографией и данными, это и есть подтверждение въезда. Не выбрасывайте её до вылета: при заселении её иногда просят, на выезде тоже могут спросить.
И ещё: на контроле не шутите и не рассказывайте лишнего, люди там на работе. Деньги показать не просят, но выглядеть надо как турист с планом.